Bab 2 Episode 4 - Himpunan

 

 Matematika SMP Kelas 7 Semester 1

Bab 2 - Himpunan

"Konsep Himpunan"

#Pengertian Himpunan 

Himpunan merupakan istilah dari kelompok, kumpulan, kelas, maupun gerombolan dalam matematika. Namun, tidak semua kumpulan termasuk himpunan.

# Cara Penyajian Himpunan

1. Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi)

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Jika anggotanya sangat banyak, cara menyebutkannya biasanya dimodifikasi yaitu diberi tanda tiga titik (" ... ") dengan arti "dan seterusnya mengikuti pola sebelumnya"

Contoh: 

A = {3, 5, 7}

B = {2, 3, 5, 7}

C = {..., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ...}

 2. Dinyatakan dengan menuliskan sifat yang dimiliki anggotanya

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebut sifat yang dimiliki anggotanya.

Contoh:

A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.

B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10.

C adalah himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin.
D adalah himpunan bilangan bulat.

3. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum {x| P(x)} di mana x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol x bisa diganti dengan variabel lainnya seperti y, z, dll. Misalnya A = {1, 2, 3, 4, 5} bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan A = {x | x < 6, dan x ∈ asli}. Lambang {x | x < 6, dan x ∈ asli} ini bisa dibaca sebagai “Himpunan x sedemikian sehingga x kurang dari 6 dan x adalah elemen bilangan asli}. Tetapi, jika kita sudah memahami dengan baik, maka lambang ini biasanya cukup dibaca dengan “Himpunan bilangan asli kurang dari 6”.

Contoh:

A = {x | 1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil},

(dibaca: A adalah himpunan yang anggotanya semua x demikian sehingga x lebih dari 1 dan x kurang dari 8, serta x adalah bilangan ganjil).

B = {y | y < 10, y adalah bilangan prima}.

C = {z | z adalah huruf vokal dalam abjad latin}.

# Himpunan Kosong Dan Himpunan Semesta

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinotasikan dengan φ atau { }. Contohnya adalah Bilangan cacah yang kurang dari 0. Anggota bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh Sudraja adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. 

Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan, dan dilambangkan dengan S. Himpunan semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan disimbolkan dengan U. 

Contoh: Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari A = {1, 3, 5, 7 }

Penyelesaian: 

Himpunan Semesta yang mungkin dari himpunan A adalah

a. S = {1, 3, 5, 7}

b. S = {bilangan ganjil}

c. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

d. S = {bilangan cacah}

e. S = {10 bilangan asli pertama}

# Diagram Venn

Diagram Venn adalah Cara menyajikan himpunan juga bisa dinyatakan dengan gambar atau diagram. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923). Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:

a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas.

b. Setiap himpunan yang ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.

c. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik.

d. Bila anggota suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.

Contoh:

# Sifat-Sifat Himpunan

Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).

1. Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finite set)

Contoh A ={1, 2, 3, 4}

2. Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infinite set).

Contoh B ={1, 2, 3, 4, ...}

3. Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set).

Contoh:

Tentukan banyak anggota himpunan A dan B berikut.

A ={ 2, 4, 6, 8, 10}

B ={1, 3, 5, 7,..., 27, 29}

Banyak anggota A adalah 5, dinotasikan dengan n(A) = 5.

Banyak anggota B adalah 15, dinotasikan dengan n(A) = 15.

# Himpunan Bagian

Agar pemahaman himpunan bagian lebih jelas, perhatikan himpunan berikut.
S = {seluruh siswa kelas VII yang ada di sekolah kamu}
A = {seluruh siswa kelas VIIA yang ada di kelas kamu}
B = {seluruh siswa perempuan VIIA yang ada di kelas kamu}
C = {seluruh siswa laki-laki VIIA yang ada di kelas kamu}

Penjelasan:

Jika melihat dari contoh tersebut, maka diperoleh keterangan dibawah ini:

Himpunan B & himpunan C adalah himpunan bagian himpunan A. Dikarenakan setiap anggota dari himpunan B maupun C adalah anggota himpunan A. Selanjutnya Himpunan A adalah himpunan bagian himpunan S. Dikarenakan setiap anggota dari himpuna A adalah anggota himpunan S. Sementara Himpunan B bukan termasuk himpunan bagian himpunan C itu juga sebaliknya. Dikarenakan tak ada anggota dari himpunan B yang termasuk anggota himpunan C atau sebaliknya. (Sumber: https://www.weschool.id/pengertian-himpunan-bagian-dan-contoh-soalnya/)

# Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Misalkan A himpunan dan P(A) adalah himpunan kuasa A. Jika n(A) = n dengan n bilangan cacah, maka n(P(A)) = 2n

Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A, dinotasikan dengan A = B. Jika n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.

Bab 2