Bab 2 Episode 4 - Himpunan

 

 Matematika SMP Kelas 7 Semester 1

Bab 2 - Himpunan

"Konsep Himpunan"

#Pengertian Himpunan 

Himpunan merupakan istilah dari kelompok, kumpulan, kelas, maupun gerombolan dalam matematika. Namun, tidak semua kumpulan termasuk himpunan.

# Cara Penyajian Himpunan

1. Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi)

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal. Jika anggotanya sangat banyak, cara menyebutkannya biasanya dimodifikasi yaitu diberi tanda tiga titik (" ... ") dengan arti "dan seterusnya mengikuti pola sebelumnya"

Contoh: 

A = {3, 5, 7}

B = {2, 3, 5, 7}

C = {..., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ...}

 2. Dinyatakan dengan menuliskan sifat yang dimiliki anggotanya

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebut sifat yang dimiliki anggotanya.

Contoh:

A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.

B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10.

C adalah himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin.
D adalah himpunan bilangan bulat.

3. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut. Notasi ini biasanya berbentuk umum {x| P(x)} di mana x mewakili anggota dari himpunan, dan P(x) menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh x agar bisa menjadi anggota himpunan tersebut. Simbol x bisa diganti dengan variabel lainnya seperti y, z, dll. Misalnya A = {1, 2, 3, 4, 5} bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan A = {x | x < 6, dan x ∈ asli}. Lambang {x | x < 6, dan x ∈ asli} ini bisa dibaca sebagai “Himpunan x sedemikian sehingga x kurang dari 6 dan x adalah elemen bilangan asli}. Tetapi, jika kita sudah memahami dengan baik, maka lambang ini biasanya cukup dibaca dengan “Himpunan bilangan asli kurang dari 6”.

Contoh:

A = {x | 1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil},

(dibaca: A adalah himpunan yang anggotanya semua x demikian sehingga x lebih dari 1 dan x kurang dari 8, serta x adalah bilangan ganjil).

B = {y | y < 10, y adalah bilangan prima}.

C = {z | z adalah huruf vokal dalam abjad latin}.

# Himpunan Kosong Dan Himpunan Semesta

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinotasikan dengan φ atau { }. Contohnya adalah Bilangan cacah yang kurang dari 0. Anggota bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh Sudraja adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. 

Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan, dan dilambangkan dengan S. Himpunan semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan disimbolkan dengan U. 

Contoh: Tentukan himpunan semesta yang mungkin dari A = {1, 3, 5, 7 }

Penyelesaian: 

Himpunan Semesta yang mungkin dari himpunan A adalah

a. S = {1, 3, 5, 7}

b. S = {bilangan ganjil}

c. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

d. S = {bilangan cacah}

e. S = {10 bilangan asli pertama}

# Diagram Venn

Diagram Venn adalah Cara menyajikan himpunan juga bisa dinyatakan dengan gambar atau diagram. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923). Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:

a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas.

b. Setiap himpunan yang ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.

c. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik.

d. Bila anggota suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.

Contoh:

# Sifat-Sifat Himpunan

Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).

1. Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finite set)

Contoh A ={1, 2, 3, 4}

2. Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infinite set).

Contoh B ={1, 2, 3, 4, ...}

3. Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set).

Contoh:

Tentukan banyak anggota himpunan A dan B berikut.

A ={ 2, 4, 6, 8, 10}

B ={1, 3, 5, 7,..., 27, 29}

Banyak anggota A adalah 5, dinotasikan dengan n(A) = 5.

Banyak anggota B adalah 15, dinotasikan dengan n(A) = 15.

# Himpunan Bagian

Agar pemahaman himpunan bagian lebih jelas, perhatikan himpunan berikut.
S = {seluruh siswa kelas VII yang ada di sekolah kamu}
A = {seluruh siswa kelas VIIA yang ada di kelas kamu}
B = {seluruh siswa perempuan VIIA yang ada di kelas kamu}
C = {seluruh siswa laki-laki VIIA yang ada di kelas kamu}

Penjelasan:

Jika melihat dari contoh tersebut, maka diperoleh keterangan dibawah ini:

Himpunan B & himpunan C adalah himpunan bagian himpunan A. Dikarenakan setiap anggota dari himpunan B maupun C adalah anggota himpunan A. Selanjutnya Himpunan A adalah himpunan bagian himpunan S. Dikarenakan setiap anggota dari himpuna A adalah anggota himpunan S. Sementara Himpunan B bukan termasuk himpunan bagian himpunan C itu juga sebaliknya. Dikarenakan tak ada anggota dari himpunan B yang termasuk anggota himpunan C atau sebaliknya. (Sumber: https://www.weschool.id/pengertian-himpunan-bagian-dan-contoh-soalnya/)

# Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Misalkan A himpunan dan P(A) adalah himpunan kuasa A. Jika n(A) = n dengan n bilangan cacah, maka n(P(A)) = 2n

Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A, dinotasikan dengan A = B. Jika n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.

Bab 1 Episode 3 - Bilangan Berpangkat Bulat Positif

 

 Matematika SMP Kelas 7 Semester 1

Bab 1 - Bilangan

"Bilangan Berpangkat Bulat Positif"

#Pengertian Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Bilangan berpangkat dikenal juga dengan istilah bilangan eksponen. Bilangan Berpangkat dapat dinyatakan dalam bentuk seperti gambar di atas dengan b dan angka 3 adalah bilangan bulat. B disebut bilangan basis atau pokok, sedangkan angka 3 disebut eksponen atau pangkat. 

Contoh: 10^2 dibaca "Sepuluh pangkat 2". 

-Menyatakan Bilangan Desimal Menjadi Bilangan Berpangkat Bulat Positif-

Cara menyatakan Bilangan Berpangkat Bulat Positif menjadi Bilangan Desimal yaitu hanya mengubahnya dalam bentuk perkalian, kemudian menentukan hasil kalinya. Sedangkan cara untuk menyatakan Bilangan Desimal menjadi Bilangan Berpangkat Bulat Positif yaitu dengan menentukan faktor-faktor terlebih dahulu. 

#Faktor Bilangan 

Bilangan bulat a dikatakan faktor dari bilangan bulat b jika ada bilangan bulat n. Sehingga a x n = b.

Contoh: 2 dikatakan faktor dari 8 karena ada bilangan 4, sehingga 2 x 4 = 8

Untuk menentukan faktor-faktor dari bilangan desimal tersebut, salah satu caranya yaitu dengan membagi bilangan tersebut secara berulang.

Contoh: Cara menjadikan bilangan desimal 564 menjadi bilangan berpangkat.

648 : 2 

324 : 2

162 : 2

81    : 3

27   : 3

9     : 3

3    : 3

1

648 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 3 

         = 2^3 x 3^4

#Membandingkan Bilangan Berpangkat Besar

Contoh 1: Tentukan bilangan yang lebih besar antara 5^6 dengan 6^5

Jawab :

5^6 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15.625

6^5 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776

Jadi, bilangan yang lebih besar antara 5^6 dengan 6^5 adalah 5^6.

Contoh 2: Tentukan bilangan yang lebih besar antara bilangan 100^101 dengan 101^100

Jawab: Untuk membandingkan bilang yang berpangkat cukup besar tersebut, bisa melakukan percobaan untuk bilangan-bilangan yang lebih kecil, tetapi dengan pola yang sama. 

3^4 > 4^3 

4^5 > 5^4

5^6 > 6^5

Dengan melakukan percobaan di atas, dapat disimpulkan bahwa 100^101 > 101^100.

Bab 1 Episode 2 - Bilangan Pecahan

 Matematika SMP Kelas 7 Semester 1

Bab 1 - Bilangan

"Bilangan Pecahan"

#Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan Pecahan, atau disebut fraksi adalah istilah dalam matematika yang memiliki bentuk ${\displaystyle {a \over b}}$ dimana b ≠ 0. Dalam hal ini a merupakan pembilang dan b merupakan penyebut. Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasi aritmatika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama. 

Pada bilangan pecahan berlaku juga sifat komutatif, asosiatif, dan distributif.

#Jenis-Jenis Bilangan Pecahan

• Bilangan Pecahan Desimal

Bilangan Pecahan atau pecahan desimal adalah sebuah bilangan yang selalu ditandai dengan tanda koma (,). Bilangan desimal bisa didapat melalui pembagian antara pembilang dan penyebut suatu pecahan.

Contohnya ${\displaystyle {1 \over 2}}$, angka 1 adalah pembilang dan angka 2 adalah penyebut. Jika ingin mengubah pecahan tersebut menjadi desimal, maka harus dilakukan pembagian antara pembilang dan penyebut menjadi 1 : 2 = 0,5 dibaca (nol koma lima). Dalam tabel berikut akan diberikan beberapa contoh cara membaca bilangan desimal.

• Bilangan Pecahan Biasa

Bilangan Pecahan Biasa merupakan pecahan yang terdiri atas pembilang dan penyebut dimana pembilang  penyebut.

Cara membaca bilangan pecahan biasa 

 1/2 dibaca "Setengah atau satu per dua"

1/3 dibaca "Sepertiga atau satu per tiga"

• Bilangan Pecahan Campuran

Pecahan Campuran merupakan suatu bentuk pecahan yang terdiri dari bilangan bulat, pembilang dan penyebut.^[3] Pecahan campuran adalah penyederhanaan dari pecahan biasa tidak murni. Yang dimaksud pecahan biasa tidak murni adalah pecahan yang angka pembilang  penyebut. Contohnya 19/2 angka 19 merupakan pembilang, angka 2 merupakan penyebut. Bisa dilihat pembilangnya lebih besar dari penyebut, sehingga dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dengan penyebutnya. Caranya 19 : 2 = 9 (sisa 1), angka 9 yang merupakan hasil baginya adalah bilangan bulat, sisanya yaitu angka 1 adalah pembilang, angka 2 tetap sebagai penyebut. Sehingga bentuk pecahan campuran dari pecahan 19/2 adalah 9. Dalam tabel berikut akan diberikan beberapa contoh cara membaca pecahan campuran.

Cara Membaca Bilangan Pecahan Campuran 

 1 dibaca "Satu setengah atau satu satu per dua"

#Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Pecahan

Penjumlahan

Contoh: 

Aisyah membeli 1/4 kg buah manga. Ia membeli lagi 3/4 kg buah mangga untuk teman-temannya yang datang ke rumahnya. Berapa kg buah manga keseluruhan?

Pembahasan:

1/4 + 3/4 = 1+3/4 = 4/4 atau 1

Jadi, berat buah mangga yang dibeli 

#Pengelompokkan Bilangan Pecahan

(1/2); (2/4); (2/5); (4/7); (6/5); (5/2); (1-1/2); (2-1/5); (0,50; (1,25); dan (3)

Bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan menjadi empat bilangan, yaitu:

• Pecahan sejati

Pecahan sejati adalah Pecahan yang pembilangnya kurang dari penyebut dan FPB dari pembilang dan penyebutnya adalah 1. Bilangan yang termasuk bilangan pecahan sejati adalah (1/2, 2/5, 4/7, ...). Untuk bilangan 2/4 bukan merupakan bilangan sejati karena FPB dari pembilang dan penyebutnya adalah 2. Pecahan 2/4 sama dengan pecahan 1/2. Bilangan pecahan dengan penyebut 100 disebut persen. Sedangkan bilangan pecahan dengan penyebut 1.000 disebut permil.

• Pecahan tidak sejati

Pecahan tidak sejati adalah pecahan yang pembilangnya lebih dari penyebut. Bilangan yang termasuk bilangan pecahan tidak sejati adalah 6/5 dan 5/2. 

• Bilangan Campuran

Bilangan Campuran adalah Campuran atau gabungan antara bilangan bulat dengan bilangan pecahan. Bilangan yang termasuk bilangan campuran adalah 1-1/2, dan 2-1/5. Bilangan campuran bisa diubah menjadi bilangan pecahan biasa dengan cara seperti gambar di bawah ini:

•  Bilangan Desimal

 Bilangan desimal yaitu bilangan yang tersusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Bilangan yang termasuk bilangan desimal adalah 0,5 ; 1,25 ; dan 3. Bilangan bulat juga termasuk kedalam bilangan desimal. 

#Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan 

• Perkalian

 Contoh 1: 2/3 x 3 = 2 

Contoh 2: 3/2 x 4 = 6

• Pembagian

Contoh: 1/3 : 2 = 1/6 

Contoh: 6/7 : 2/7 = 6/2 atau 3

Contoh: 3 : 1/2 = 3/1 : 1/2 = 3x2/2 : 1/2 = 3x2/1 = 6

Contoh: 1/2 : 2/3 = 1x3/2x2 = 3/4

Bab 1 Episode 1 - Bilangan Bulat

 Matematika SMP Kelas 7 Semester 1

Bab 1- Bilangan

"Bilangan Bulat"

#Pengertian Bilangan Bulat

Bilangan bulat ialah suatu bilangan yang terdiri atas bilangan bulat positif (1, 2, 3, ...), bilangan nol (0), dan bilangan bulat negatif (-1, -2, -3, ...). Nama lain dari bilangan bulat positif adalah bilangan asli. Sedangkan untuk gabungan bilangan bulat positif dan bilangan nol adalah bilangan cacah. 

Nah dengan begitu jadi kita bisa simpulkan bahwa komponen dari bilangan bulat ialah -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,… dari pengertian tersebut bisa kita menyimpulkan bahwa bilangan bulat ialah bilangan semua bilangan baik itu negatif atau positif termasuk juga nol dan nilai bilangan semakin ke kiri maka bilangan tersebut semakin kecil dan sebaliknya jika semakin ke kanan maka bilangan tersebut semakin besar, akan tetapi harus diingat bahwa pecahan tak termasuk dalam bilangan bulat.

#Lambang Bilangan Bulat

Adapun untuk bilangan bulat itu sendiri dilambangkan dengan menggunakan huruf “Z” yang dimana huru “Z” tersebut merupakan bahasa jerman yakni “Zahlen” yang berarti “Bilangan”.

#Jenis Bilangan Bulat 

Adapun bilangan bulat terdiri atas 3 jenis anggota, yang diantaranya yaitu:

1. Bilangan Bulat Positif

Bilangan bulat positif merupakan bilangan bulat yang letaknya berada di area sebelah kanan 0 “nol” pada garis bilangan bulat. Jadi 1,2,3,4,.. merupakan bilangan bulat positif.

2. Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat negatif merupakan bilangan yang letaknya berada di area sebelah kiri 0 “nol” pada garis bilangan. Jadi -1,-2,-3,-4,.. termasuk bilangan bulat negatif.

3. -0 "Nol"

Nol tak termasuk anggota bilangan bulat positif dan negatif, dia beridiri sendiri sehingga anggota bilangan bulat yaitu bilangan bulat positif, nol dan bilangan bulat negatif.

#Membandingkan Bilangan Bulat Yang Memuat Banyak Angka

Untuk membandingkan bilangan bulat positif yang sangat besar atau bilangan bulat negatif yang sangat kecil, bisa dengan mengamati angka-angka penyusunnya. Bilangan tersusun atas angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Bilangan 7 dibaca "Tujuh" tersusun dari angka 7 sebagai bilangan satuan.

Bilangan 15 dibaca "Lima Belas" tersusun dari angka 1 sebagai bilangan puluhan dan 5 sebagai bilangan satuan.

Bilangan 138 dibaca "Seratus Tiga Puluh Delapan" tersusun dari angka 1 sebagai bilangan ratusan, 3 sebagai bilangan puluhan, dan 8 sebagai bilangan satuan.

Bilangan 2.469 dibaca "Dua Ribu Empat Ratus Enam Puluh Sembilan" tersusun dari angka 2 sebagai bilangan ribuan, 4 sebagai bilangan ratusan, 6 sebagai bilangan puluhan dan 9 sebagai bilangan ribuan.

Bilangan 36.251 dibaca "Tiga Puluh Enam Ribu Dua Ratus Lima Puluh Satu" tersusun dari angka 3 sebagai bilangan puluhan ribu, 6 sebagai bilangan ribuan, 2 sebagai bilangan ratusan, 5 sebagai bilangan puluhan, dan 1 sebagai bilangan satuan.

#Operasi Penjumlahan Dan Pengurangan Bilangan Bulat 

Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

• Komutatif (Berkebalikan)

Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka berlaku

Contoh: 2 + 4 = 4 + 2 hasilnya adalah 6

• Asosiatif (Pengelompokkan) 

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat, maka berlaku

Contoh: 3 + (5+7) = (3+5) + 7 hasilnya adalah 15

 #Sifat-Sifat Lain Pada Bilangan Bulat

• Penjumlahan bilangan genap ditambah bilangan genap

Jika a dan b merupakan bilangan genap maka hasilnya adalah genap.

a (genap) + b (genap) = c (bilangan genap) 

Contoh: 4 + 6 = 10 (10 merupakan bilangan genap)

• Penjumlahan bilangan genap ditambah bilangan ganjil 

Jika a merupakan bilangan genap dan b merupakan bilangan ganjil, maka hasilnya adalah ganjil.

a (genap) + b (ganjil) = d (bilangan ganjil)

Contoh: 2 + 5 = 7 (7 merupakan bilangan ganjil) 

• Penjumlahan bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil

Jika a merupakan bilangan ganjil dan b merupakan bilangan ganjil, maka hasilnya adalah genap.

 a (ganjil) + b (ganjil) = c (bilangan genap)

Contoh: 3 + 5 = 8 (8 merupakan bilangan genap)

 #Operasi Perkalian Dan Pembagian Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Bilangan Bulat

• Komutatif 

a x b = b x a

Contoh: 4 x 6 = 6 x 4 hasilnya adalah 24

• Asosiatif

(a x b) x c = a x (b x c) 

Contoh: (2 x 3) x 5 = 2 x (3 x 5) hasilnya adalah 30

• Distributif

Perkalian terhadap penjumlahan

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 

Contoh: 3 x (2 +7) = (3 x 2) + (3 x 7) hasilnya adalah 27 

Operasi Pembagian Bilangan Bulat 

#Bilangan Prima

Bilangan Prima adalah bilangan bulat positif yang memiliki 2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Misalnya x merupakan bilangan prima maka faktor dari x adalah 1 dan x

Mengapa 1 bukan merupakan bilangan prima?

Karena bilangan prima itu harus lebih besar dari 1.

Episode 3 Belajar Bahasa German

#Bab V (Accusative Case)

+Die milch : The milk
Trinken : Drinking (They are) or (We are)
Trinkst : Drinking (You are)
+Der Apfel : The apple
Essen : Eat (They are or We are)
Esst : Eat (You are)
Esse : Eat (I am)
+Die Zeitung : The newspaper
+Das Buch : The book
Bucher : Books
Lesen : Read (We or They)
Lese : Read (I)


*Example:
1. Ihr trinkt wasser : You are drinking water
2. Sie trinken : they are drinking
3. Sie isst : She is eating
4. Du liest : You are reading
5. Ein mann liest : a man is reading
6. Ich lese : I read
7. Der mann liest ein buch : the man reads book

(+)Question:
1. Du trinkst : ?
2. Ich trinke : ?
3. Wir trinke : ?
4. Der mann trinkt milch : ?
5. Sie essen : ?
6. Ich esse : ?
7. Ein apfel : ?
8. Eine frau isst einen apfel : ?
9. Sie isst einen apfel : ?
10. Der junge isst einen apfel : ?
11. Ein mann liest eine zeitung : ?
12. Sie liest eine zeitung : ?
13. Wir lesen eine zeitung : ?
14. Sie lessen bucher : ?
15. Die kinder lesen ein buch : ?


*Send your answer with comment my blog and insyaallah if i can look your answer, i will correct it.*

Episode 2 Belajar Bahasa German

#Bab IV

Tschuss! : Bye!
Danke! : Thanks!
Ja : Yes
Nein : No
Bitte : Pardon / Please
Guten Tag : Good afternoon
Guten Abend : Good evening
Guten Morgen : Good morning
Guten Nacht : Good Night
Wie Geht's : How is it going?
Mir geht's gut : I am doing well
Bis Bald! : See you soon!
Bis Spater : See you later
Bis Morgen : See you tomorrow
Auf Wiedersehen : Bye / See you later
Willkommen / Gern Geschehen : You are welcome
Genau : Exactly
Leider : Unfortunately
Ordnung : Ok or allright

*Thanks for look*

Belajar Bahasa German!

Kosakata Bahasa German.

#Bab Dasar.

Junge : Boy (Singular)
Frau : Woman (Singular)
Eine Frau : A woman
Mann : Man (Singular)
Ein Mann ; A man
Madchen : Girl (Singular)
Kind : Kid (Singular)
Du : You
Ich : I
Sie : She
Er : He
Und : And
Wasser : Water
Brot : Bread
Trinkt : Drink
Es : It
Ist : Is

Ich / I --- bin / am

Du / You --- bist / are

Wir / We --- sind / are

#Bab II

Das (for food) : It / The / That

Der (male) : The

Die (female) : The

#Bab III

*Plural*

Frauen : Women 

Manner : Men

Jungen : Boys

Kinder : Children

Sie : They / She

*Thanks you so much*